Különbség A Derivált és A Differenciál Között

2024 Szerző: Mildred Bawerman | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-16 08:39

Származtatott vs differenciál

A differenciálszámításban a függvény deriváltja és differenciálja szorosan összefüggenek, de nagyon eltérő jelentéssel bírnak, és két, a differenciálható függvényhez kapcsolódó fontos matematikai objektum képviseletére szolgálnak.

Mi a derivált?

A függvény deriváltja azt a sebességet méri, amellyel a függvény értéke változik, miközben a bemenete változik. Többváltozós függvényekben a függvényérték változása a független változók értékeinek változásának irányától függ. Ezért ilyen esetekben egy adott irányt választanak, és a funkciót abban a bizonyos irányban differenciálják. Ezt a származékot irányított derivátumnak nevezzük. A részleges származékok az irányított származékok speciális fajtái.

Az vektor által értékelt f függvény deriváltja meghatározható határértékként,

bárhol is létezik véglegesen. Mint korábban említettük, ez megadja az f függvény növekedési sebességét az u vektor iránya mentén. Egyértékű függvény esetén ez a derivált jól ismert meghatározására redukálódik,

Például

mindenütt megkülönböztethető, és a derivált egyenlő a határral

amely egyenlő

. Az olyan funkciók származékai, amelyek

mindenhol léteznek. Ezek megegyeznek a függvényekkel

Ez az első származék. Általában az f függvény első deriváltját f ⁽¹⁾ jelöli. Most ezt a jelölést használva meg lehet határozni a magasabb rendű deriváltakat.

a másodrendű irányított származék, és az n- ^edik származékot f ⁽ⁿ⁾ -nel jelölve minden n-re

meghatározza az n- ^edik deriváltat.

Mi a különbség?

A függvény differenciálja a függvény változását jelenti a független változó vagy változók változásaihoz képest. A szokásos jelölés szerint egyetlen x változó adott f függvényéhez az 1 df sorrend teljes különbségét az adja meg

. Ez azt jelenti, hogy az x (azaz dx) végtelen kis változásához af ⁽¹⁾ (x) dx változás lesz f-ben.

A korlátok használatával ez a meghatározás a következőképpen alakulhat ki. Tegyük fel, hogy x az x változása tetszőleges x pontban, és ∆ f az f függvény megfelelő változása. Megmutatható, hogy ∆ f = f ⁽¹⁾ (x) ∆ x + ϵ, ahol ϵ a hiba. Most a ∆ x → 0 ^{∆ f} / _{∆ x} = f ⁽¹⁾ (x) határérték (a derivált korábban megadott definíciójának felhasználásával), és így ∆ x → 0 ^ϵ / _{∆ x} = 0. Ezért lehetséges arra a következtetésre juthatunk, hogy ∆ x → 0 ϵ = 0. Most, ha ∆ x → 0 ∆ f df-nek és and x → 0 ∆ x dx-nek jelöljük, a differenciál definícióját szigorúan megkapjuk.

Például a függvény

különbsége

Két vagy több változó függvényei esetén a függvény teljes különbségét az egyes független változók irányainak különbségeinek összegeként határozzuk meg. Matematikailag megállapítható, hogy

Mi a különbség a derivált és a differenciál között?

• A derivált a függvény változásának sebességére utal, míg a differenciál a függvény tényleges változására vonatkozik, amikor a független változó változásnak van kitéve.

• A deriváltat az adja

de a különbséget az adja