Származtatott vs differenciál
A differenciálszámításban a függvény deriváltja és differenciálja szorosan összefüggenek, de nagyon eltérő jelentéssel bírnak, és két, a differenciálható függvényhez kapcsolódó fontos matematikai objektum képviseletére szolgálnak.
Mi a derivált?
A függvény deriváltja azt a sebességet méri, amellyel a függvény értéke változik, miközben a bemenete változik. Többváltozós függvényekben a függvényérték változása a független változók értékeinek változásának irányától függ. Ezért ilyen esetekben egy adott irányt választanak, és a funkciót abban a bizonyos irányban differenciálják. Ezt a származékot irányított derivátumnak nevezzük. A részleges származékok az irányított származékok speciális fajtái.
Az vektor által értékelt f függvény deriváltja meghatározható határértékként,
bárhol is létezik véglegesen. Mint korábban említettük, ez megadja az f függvény növekedési sebességét az u vektor iránya mentén. Egyértékű függvény esetén ez a derivált jól ismert meghatározására redukálódik,
Például
mindenütt megkülönböztethető, és a derivált egyenlő a határral
amely egyenlő
. Az olyan funkciók származékai, amelyek
mindenhol léteznek. Ezek megegyeznek a függvényekkel
Ez az első származék. Általában az f függvény első deriváltját f (1) jelöli. Most ezt a jelölést használva meg lehet határozni a magasabb rendű deriváltakat.
a másodrendű irányított származék, és az n- edik származékot f (n) -nel jelölve minden n-re
meghatározza az n- edik deriváltat.
Mi a különbség?
A függvény differenciálja a függvény változását jelenti a független változó vagy változók változásaihoz képest. A szokásos jelölés szerint egyetlen x változó adott f függvényéhez az 1 df sorrend teljes különbségét az adja meg
. Ez azt jelenti, hogy az x (azaz dx) végtelen kis változásához af (1) (x) dx változás lesz f-ben.
A korlátok használatával ez a meghatározás a következőképpen alakulhat ki. Tegyük fel, hogy x az x változása tetszőleges x pontban, és ∆ f az f függvény megfelelő változása. Megmutatható, hogy ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, ahol ϵ a hiba. Most a ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) határérték (a derivált korábban megadott definíciójának felhasználásával), és így ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Ezért lehetséges arra a következtetésre juthatunk, hogy ∆ x → 0 ϵ = 0. Most, ha ∆ x → 0 ∆ f df-nek és and x → 0 ∆ x dx-nek jelöljük, a differenciál definícióját szigorúan megkapjuk.
Például a függvény
különbsége
Két vagy több változó függvényei esetén a függvény teljes különbségét az egyes független változók irányainak különbségeinek összegeként határozzuk meg. Matematikailag megállapítható, hogy
Mi a különbség a derivált és a differenciál között?
• A derivált a függvény változásának sebességére utal, míg a differenciál a függvény tényleges változására vonatkozik, amikor a független változó változásnak van kitéve.
• A deriváltat az adja
de a különbséget az adja
