Lineáris és nemlineáris differenciálegyenletek
Legalább egy differenciálegyütthatót vagy egy ismeretlen változó származékát tartalmazó egyenletet differenciálegyenletnek nevezzük. A differenciálegyenlet lehet lineáris vagy nemlineáris. A cikk célja elmagyarázni, mi a lineáris differenciálegyenlet, mi a nemlineáris differenciálegyenlet, és mi a különbség a lineáris és a nemlineáris differenciálegyenletek között.
Amióta a matematikusok, mint Newton és Leibnitz, a kalkulust a 18. században kifejlesztették, a differenciálegyenlet fontos szerepet játszott a matematika történetében. A differenciálegyenletek az alkalmazási körük miatt nagy jelentőséggel bírnak a matematikában. A differenciálegyenletek állnak minden olyan modell középpontjában, amelyet kifejlesztünk, hogy megmagyarázzuk a világ bármely forgatókönyvét vagy eseményét, legyen szó akár fizikáról, mérnöki tudományokról, kémiai tudományokról, statisztikákról, pénzügyi elemzésekről vagy biológiáról. Valójában mindaddig, amíg a számítás bevett elméletté nem vált, a matematikai eszközök nem voltak elérhetők a természet érdekes problémáinak elemzésére.
A számítás egy adott alkalmazásából származó egyenletek nagyon összetettek lehetnek, és néha nem oldhatók meg. Vannak azonban olyanok, amelyeket megoldhatunk, de hasonlítónak és zavarónak tűnhetnek. Ezért a könnyebb azonosítás érdekében a differenciálegyenleteket matematikai viselkedésük szerint kategorizálják. A lineáris és nemlineáris egy ilyen kategorizálás. Fontos meghatározni a lineáris és a nemlineáris differenciálegyenletek közötti különbséget.
Mi az a lineáris differenciálegyenlet?
Tegyük fel, hogy f: X → Y és f (x) = y, az ismeretlen y függvény és származékai nemlineáris tagjai nélküli differenciálegyenletet lineáris differenciálegyenletként ismerjük.
Feltételezi, hogy y-nek nem lehetnek magasabb indexfogalmai, mint például y 2, y 3,… és többszörös származékai, például
Nem tartalmazhat nem lineáris kifejezéseket, mint például Sin y, e y ^ -2 vagy ln y. Formáját ölti,
ahol y és g x függvényei. Az egyenlet az n sorrend differenciálegyenlete, amely a legmagasabb sorrendű származék indexe.
Lineáris differenciálegyenletben a differenciáloperátor lineáris operátor, és a megoldások vektorteret alkotnak. A megoldáskészlet lineáris jellegének eredményeként a megoldások lineáris kombinációja a differenciálegyenlet megoldása is. Vagyis ha y 1 és y 2 a differenciálegyenlet megoldása, akkor C 1 y 1 + C 2 y 2 is megoldás.
Az egyenlet linearitása csak a besorolás egyik paramétere, és tovább kategorizálható homogén vagy nem homogén és hétköznapi vagy részleges differenciálegyenletekbe. Ha a függvény g = 0, akkor az egyenlet lineáris homogén differenciálegyenlet. Ha f két vagy több független változó (f: X, T → Y) és f (x, t) = y függvénye, akkor az egyenlet lineáris parciális differenciálegyenlet.
A differenciálegyenlet megoldási módja a differenciálegyenlet típusától és együtthatóitól függ. A legkönnyebb eset akkor fordul elő, ha az együtthatók állandóak. Klasszikus példa erre az esetre Newton második mozgástörvénye és különféle alkalmazásai. Newton második törvénye másodfokú lineáris differenciálegyenletet eredményez állandó együtthatókkal.
Mi az a nemlineáris differenciálegyenlet?
A nemlineáris kifejezéseket tartalmazó egyenleteket nemlineáris differenciálegyenletnek nevezzük.
Mindezek nemlineáris differenciálegyenletek. A nemlineáris differenciálegyenleteket nehéz megoldani, ezért a helyes megoldás megszerzéséhez szoros tanulmányozás szükséges. Parciális differenciálegyenletek esetén az egyenletek többségének nincs általános megoldása. Ezért minden egyenletet egymástól függetlenül kell kezelni.
A Navier-Stokes-egyenlet és az Euler-egyenlet a folyadékdinamikában, Einstein általános relativitás-térbeli egyenletei jól ismert nemlineáris parciális differenciálegyenletek. Néha a Lagrange-egyenlet változó rendszerre történő alkalmazása nemlineáris parciális differenciálegyenletek rendszerét eredményezheti.
Mi a különbség a lineáris és a nemlineáris differenciálegyenletek között?
• Egy differenciálegyenletet, amelynek csak az ismeretlen vagy függő változó és deriváltjainak lineáris tagjai vannak, lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Nincs olyan kifejezés, amelynek függő változója indexe nagyobb, mint 1, és nem tartalmaz több származékát. Nem lehetnek nemlineáris függvényei, például trigonometrikus, exponenciális és logaritmikus függvényei a függő változóhoz képest. A fenti kifejezéseket tartalmazó differenciálegyenlet nemlineáris differenciálegyenlet.
• A lineáris differenciálegyenletek megoldása vektorteret hoz létre, és a differenciáloperátor lineáris operátor a vektortérben is.
• A lineáris differenciálegyenletek megoldása viszonylag egyszerűbb, és léteznek általános megoldások. A nemlineáris egyenletek esetében az esetek többségében az általános megoldás nem létezik, és a megoldás probléma-specifikus lehet. Ez sokkal megnehezíti a megoldást, mint a lineáris egyenletek.
