Valószínűségeloszlási függvény vs valószínűségi sűrűségfüggvény
A valószínűség az esemény bekövetkezésének valószínűsége. Ez az ötlet nagyon általános, és gyakran használják a mindennapi életben, amikor felmérjük lehetőségeinket, tranzakcióinkat és még sok minden mást. Ennek az egyszerű koncepciónak a kiterjesztése egy nagyobb eseménysorozatra kissé nagyobb kihívást jelent. Például nem tudjuk könnyen kitalálni a sorsolás megnyerésének esélyét, de kényelmes, inkább intuitív azt mondani, hogy valószínűsége van annak, hogy hatból egy veszi fel a dobott kocka hatodik számát.
Amikor a lehetséges események száma egyre növekszik, vagy ha az egyéni lehetőségek száma nagy, akkor ez a meglehetősen egyszerű elképzelés a valószínűségről kudarcot vall. Ezért szilárd matematikai meghatározást kell adni, mielőtt nagyobb összetettségű problémákhoz közelítene.
Ha nagy az események száma, amelyek egyetlen helyzetben történhetnek, lehetetlen minden eseményt külön-külön figyelembe venni, mint a dobott kocka példájában. Ennélfogva az események teljes halmazát összefoglaljuk a véletlen változó fogalmának bevezetésével. Ez egy változó, amely felveheti a különböző események értékeit az adott helyzetben (vagy a mintaterületben). Matematikai értelmet ad a helyzet egyszerű eseményeinek, és matematikai módon kezeli az eseményt. Pontosabban, a véletlen változó a mintaterület elemein felüli valós értékfüggvény. A véletlen változók lehetnek diszkrétek vagy folytonosak. Ezeket általában az angol ábécé nagybetűivel jelölik.
A valószínűségeloszlás függvény (vagy egyszerűen a valószínűségeloszlás) olyan függvény, amely minden eseményhez hozzárendeli a valószínűségi értékeket; azaz összefüggést ad a véletlen változó által felvehető értékek valószínűségeivel. A valószínűségeloszlás függvénye diszkrét véletlen változókra van meghatározva.
A valószínűségi sűrűség függvény egyenlő a folytonos véletlen változók valószínűség eloszlásának függvényével, megadja annak valószínűségét, hogy egy bizonyos véletlen változó felvesz egy bizonyos értéket.
Ha X egy diszkrét véletlen változó, az f tartományban megadott x (f) = P (X = x) függvényt X tartományban lévő minden egyes x-nek valószínűség-eloszlásfüggvénynek nevezzük. Egy függvény akkor és csak akkor szolgálhat valószínűségeloszlásfüggvényként, ha a függvény megfelel a következő feltételeknek.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
A valós számok halmazán definiált f (x) függvényt csak akkor nevezzük az X folytonos véletlen változó valószínűségi sűrűségfüggvényének, ha
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx bármely valós a és b konstansra.
A valószínűségi sűrűség függvénynek a következő feltételeknek is meg kell felelnie.
1. f (x) ≥ 0 minden x esetében: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Mind a valószínűségeloszlás-függvényt, mind a valószínűségi sűrűség-függvényt használjuk a valószínűségek eloszlásának a mintaterületen való ábrázolására. Általában ezeket valószínűségi eloszlásoknak nevezzük.
A statisztikai modellezéshez standard valószínűségi sűrűségfüggvényeket és valószínűségeloszlási függvényeket vezetnek le. A normális eloszlás és a standard normális eloszlás a folyamatos valószínűség-eloszlások példái. A binomiális és a Poisson-eloszlás példák a diszkrét valószínűségi eloszlásokra.
Mi a különbség a valószínűségeloszlás és a valószínűségsűrűség-függvény között?
• A valószínűségeloszlás és a valószínűségi sűrűség függvény a mintaterületen definiált függvények, amelyek minden elemhez hozzárendelik a megfelelő valószínűségi értéket.
• A valószínűségi eloszlás függvényeit a diszkrét véletlen változókra, míg a valószínűségi sűrűség függvényeket a folytonos véletlen változókra határozzuk meg.
• A valószínűségi értékek (azaz a valószínűségi eloszlások) eloszlását a valószínűségi sűrűség függvény és a valószínűség eloszlás függvény ábrázolja a legjobban.
• A valószínűségeloszlásfüggvény értékként ábrázolható egy táblázatban, de ez a valószínűségi sűrűségfüggvény esetében nem lehetséges, mert a változó folyamatos.
• Ábrázoláskor a valószínűségeloszlás függvény oszlopdiagramot, míg a valószínűségi sűrűség függvény görbét ad.
• A valószínűségeloszlás függvény oszlopainak magasságának / hosszának hozzá kell adódnia 1-hez, míg a valószínűségi sűrűség függvény görbe alatti területe hozzá kell adnia 1-hez.
• Mindkét esetben a függvény összes értékének nem negatívnak kell lennie.
