Véletlen változók vs valószínűségeloszlás
A statisztikai kísérletek véletlenszerű kísérletek, amelyeket a végtelenségig ismételhetünk egy ismert eredménykészlettel. A véletlen változók és a valószínűségi eloszlások egyaránt társulnak az ilyen kísérletekhez. Minden véletlen változóhoz tartozik egy társított valószínűségi eloszlás, amelyet egy kumulatív eloszlásfüggvénynek nevezett függvény határoz meg.
Mi a véletlen változó?
A véletlen változó olyan függvény, amely numerikus értékeket rendel hozzá egy statisztikai kísérlet eredményéhez. Más szavakkal, ez egy olyan függvény, amelyet egy statisztikai kísérlet mintaterületéből a valós számok halmazába határoznak meg.
Vegyünk egy véletlenszerű kísérletet például egy érme kétszeri megfordításával. A lehetséges eredmények a HH, HT, TH és TT (H-fejek, T-mesék). Legyen az X változó a kísérletben megfigyelt fejek száma. Ekkor X felveheti a 0, 1 vagy 2 értékeket, és ez egy véletlen változó. Itt az X véletlen változó az S = {HH, HT, TH, TT} halmazot (a mintateret) leképezi a {0, 1, 2} halmazra oly módon, hogy a HH-t 2, HT és TH-hez hozzárendeljük. 1-re, a TT pedig 0-ra van feltüntetve. A függvény jelölésében ezt felírhatjuk: X: S → R ahol X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 és X (TT) = 0.
Kétféle véletlen változó létezik: diszkrét és folytonos, ennek megfelelően a véletlen változó feltételezhető lehetséges értékeinek száma legfeljebb megszámolható vagy sem. Az előző példában az X véletlen változó egy diszkrét véletlen változó, mivel az {0, 1, 2} véges halmaz. Most vegye fontolóra azt a statisztikai kísérletet, amely szerint egy osztályban megtalálják a hallgatók súlyát. Legyen Y a tanuló súlyaként meghatározott véletlen változó. Y bármilyen valós értéket vehet fel egy adott intervallumon belül. Ennélfogva Y folyamatos véletlen változó.
Mi a valószínűségeloszlás?
A valószínűségeloszlás egy olyan függvény, amely leírja annak valószínűségét, hogy egy véletlen változó bizonyos értékeket vesz fel.
A kumulatív eloszlásfüggvénynek (F) nevezett függvény meghatározható a valós számok halmazától a valós számok halmazáig: F (x) = P (X ≤ x) (annak valószínűsége, hogy X kisebb vagy egyenlő x) minden lehetséges eredmény x. Most az első példa X kumulatív eloszlásfüggvényét F (a) = 0 formában írhatjuk fel, ha a <0; F (a) = 0,25, ha 0≤a <1; F (a) = 0,75, ha 1≤a <2 és F (a) = 1, ha a ≥2.
Diszkrét véletlenszerű változók esetén egy funkció meghatározható a lehetséges eredmények halmazától a valós számok halmazáig oly módon, hogy ƒ (x) = P (X = x) (annak valószínűsége, hogy X megegyezik x-szel) minden lehetséges eredményre x. Ezt az function függvényt az X véletlen változó valószínűségi tömegfüggvényének nevezzük. Most X valószínűségi tömegfüggvényét az első példában írhatjuk as (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 és egyébként ƒ (x) = 0. Így a valószínűségi tömegfüggvény és a kumulatív eloszlásfüggvény leírja X valószínűségeloszlását az első példában.
Folyamatos véletlen változók esetén a valószínűségi sűrűség függvénynek (ƒ) nevezett függvény meghatározható úgy, hogy x (x) = dF (x) / dx minden x esetében, ahol F a folyamatos véletlen változó kumulatív eloszlásfüggvénye. Könnyen belátható, hogy ez a függvény kielégíti a ∫ƒ (x) dx = 1 értéket. A valószínűségi sűrűség függvény a kumulatív eloszlásfüggvénnyel együtt egy folyamatos véletlenszerű változó valószínűségi eloszlását írja le. Például a normális eloszlást (amely folyamatos valószínűségeloszlás) a valószínűségi sűrűség függvény segítségével írjuk le ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Mi a különbség a véletlenszerű változók és a valószínűségeloszlás között?
• A véletlen változó egy olyan függvény, amely egy mintaterület értékeit valós számhoz társítja.
• A valószínűségeloszlás olyan függvény, amely egy véletlen változó által felvehető értékeket társít az adott előfordulás valószínűségéhez.
