Népesség vs minta szórása
A statisztikákban több mutatót használnak annak az adatsornak a leírására, amely megfelel annak központi tendenciájának, diszperziójának és ferdeségének. A szórás az egyik leggyakoribb mérési módszer az adatok eloszlására az adatkészlet közepétől.
A gyakorlati nehézségek miatt a hipotézis tesztelésekor nem lehet felhasználni a teljes populáció adatait. Ezért mintákból származó adatértékeket alkalmazunk a populációra vonatkozó következtetések levonására. Ilyen helyzetben ezeket becslőknek nevezzük, mivel becsülik a populációs paraméter értékeit.
Rendkívül fontos elfogulatlan becslőket használni a következtetés során. Egy becslő akkor elfogulatlan, ha a becslés várható értéke megegyezik a populációs paraméterrel. Például a minta átlagát elfogulatlan becslésként használjuk a populáció átlagára. (Matematikailag kimutatható, hogy a minta átlagának várható értéke megegyezik a populáció átlagával). A populációs szórás becslése esetén a minta szórása is elfogulatlan becslő.
Mi a népesség szórása?
Ha a teljes népesség adatait figyelembe lehet venni (például népszámlálás esetén), akkor kiszámítható a népesség szórása. A populáció szórásának kiszámításához először kiszámítják az adatértékek eltérését a sokaság átlagától. Az eltérések középső középértékét (kvadratikus középértékét) a populáció szórásának nevezzük.
10 fős osztályban könnyen összegyűjthetők a diákokról szóló adatok. Ha egy hipotézist tesztelnek ezen a hallgatói populáción, akkor nincs szükség mintaértékek használatára. Például a 10 tanuló súlyát (kilogrammban) 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 és 79 tömegre mérjük. Ezután a tíz ember átlagos súlya (kilogrammban) (70 + 62 + 65 + 72 + 80 + 70 + 63 + 72 + 77 + 79) / 10, ami 71 (kilogrammban). Ez a népesség átlagos.
A populáció szórásának kiszámításához kiszámoljuk az átlagtól való eltéréseket. A megfelelő eltérés az átlagtól (70 - 71) = -1, (62 - 71) = -9, (65 - 71) = -6, (72 - 71) = 1, (80 - 71) = 9, (70 - 71) = -1, (63 - 71) = -8, (72 - 71) = 1, (77 - 71) = 6 és (79 - 71) = 8. Az eltérés négyzetének összege (-1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 1 2 + 9 2 + (-1) 2 + (-8) 2 + 1 2 + 6 2 + 8 2 = 366. A populáció szórása értéke √ (366/10) = 6,05 (kilogrammban). A 71 az osztály tanulóinak átlagos átlagos súlya, a 6,05 pedig a súly pontos szórása a 71-től.
Mi a minta szórása?
Ha egy (n méretű) mintából származó adatokat használunk a populáció paramétereinek megbecsülésére, a minta szórását kiszámítjuk. Először kiszámítják az adatértékek eltéréseit a minta átlagától. Mivel a mintaátlagot a populációátlag helyett használjuk (ez ismeretlen), a másodfokú átlag felvétele nem megfelelő. A mintaátlag kompenzálása érdekében az eltérések négyzetének összegét n helyett (n-1) osztjuk. A minta szórása ennek négyzetgyöke. Matematikai szimbólumokban S = √ {∑ (x i -ẍ) 2 / (n-1)}, ahol S a minta szórása, ẍ a minta átlaga és x i ’s az adatpont.
Most tegyük fel, hogy az előző példában a lakosság az egész iskola tanulója. Ezután az osztály csak minta lesz. Ha ezt a mintát alkalmazzák a becslés során, akkor a minta szórása √ (366/9) = 6,38 (kilogrammban) lesz, mivel a 366-ot 10 helyett 9-vel osztották (a minta mérete). Meg kell figyelni, hogy ez nem garantáltan a pontos populáció szórásérték. Ez csupán becslés hozzá.
Mi a különbség a populáció szórása és a minta szórása között?
• A populáció szórása az a pontos paraméterérték, amelyet a szórás mérésére használnak a középponttól, míg a minta szórása torzítatlan becslő rá.
• A népesség szórását akkor számolják, ha a populáció minden egyes egyedére vonatkozó összes adat ismert. Egyébként kiszámítják a minta szórását.
• A populáció szórását σ = √ {∑ (xi-µ) 2 / n} adja meg, ahol µ a populáció átlaga és n a populáció mérete, de a minta szórását S = √ {∑ (xi-ẍ) 2 / (n-1)} ahol ẍ a minta átlaga és n a minta mérete.
