Részhalmaz vs Superset
A matematikában a halmaz fogalma alapvető. A halmazelmélet modern tanulmányozását az 1800-as évek végén formalizálták. A halmazelmélet a matematika egyik alapvető nyelve, és a modern matematika alapelveinek tárháza. Másrészt ez a matematika egy ága a saját jogaiban, amelyet a matematikai logika egyik ágának minősítenek a modern matematikában.
A halmaz egy jól definiált objektum-gyűjtemény. Jól meghatározva azt jelenti, hogy létezik olyan mechanizmus, amellyel az ember képes meghatározni, hogy egy adott objektum egy adott halmazhoz tartozik-e vagy sem. A halmazba tartozó objektumokat a halmaz elemének vagy tagjának nevezzük. A halmazokat általában nagybetűkkel jelölik, a kisbetűket pedig az elemek ábrázolására használják.
Az A halmazról azt mondjuk, hogy egy B halmaz részhalmaza; akkor és csak akkor, ha az A halmaz minden eleme egyben a B halmaz eleme is. A halmazok közötti ilyen kapcsolatot A ⊆ B-vel jelöljük. Úgy is olvasható, hogy 'A benne van B'. Az A halmazról azt mondjuk, hogy megfelelő részhalmaz, ha A ⊆ B és A ≠ B, és A ⊂ B-vel jelöljük. Ha A-ban még egy tag is van, amely nem tagja B-nek, akkor A nem lehet B részhalmaza Az üres halmaz bármely halmaz részhalmaza, és maga a halmaz ugyanazon halmaz részhalmaza.
Ha A a B részhalmaza, akkor A benne van a B-ben. Ez azt jelenti, hogy B tartalmazza A-t, vagy más szavakkal, B az A szuperhalmaza. A ⊇ B-t írjuk annak jelölésére, hogy B az A szuperhalmaza.
Például: A = {1, 3} a B = {1, 2, 3} részhalmaza, mivel az A összes, B.-ben található eleme B egy A halmaza, mert B tartalmazza A-t. Legyen A = {1, 2, 3} és B = {3, 4, 5}. Ekkor A∩B = {3}. Ezért A és B egyaránt az A∩B szuperhalmaza. Az A∪B halmaz mind az A, mind a B szuperhalmaza, mivel A∪B az A és B összes elemét tartalmazza.
Ha A a B és a B szuperhalmaza, akkor A C szuperhalmaza. A bármely halmaz üres halmaz, és bármelyik halmaz annak a halmaznak a halmaza.
Az „A a B részhalmaza” úgy is olvasható, hogy „A B-ben van”, amelyet A ⊆ B jelöl.
A „B az A szuperhalmaza” úgy is olvasható, hogy „B van A-ban”, amelyet A ⊇ B-vel jelölünk.
