Mean vs Median vs Mode
A leíró statisztikákban a középső tendencia elsődleges mértéke az átlag, a medián és a mód. Teljesen különböznek egymástól, és különböznek azok az esetek is, amelyekben az adatok összegzésére szolgálnak.
Átlagos
A számtani átlag az adatértékek összege elosztva az adatértékek számával, azaz
Ha az adatok mintaterületről származnak, akkor azt minta átlagnak (
) nevezzük, amely a minta leíró statisztikája. Bár ez a minta leggyakrabban használt leíró mértéke, nem egy megbízható statisztika. Nagyon érzékeny a kiugrásokra és a rezgésekre.
Például vegyük figyelembe egy adott város polgárainak átlagos jövedelmét. Mivel az összes adatérték összeadódik, majd feloszlik, egy rendkívül gazdag ember jövedelme jelentősen befolyásolja az átlagot. Ezért az átlagértékek nem mindig reprezentálják az adatokat mindig.
Ezenkívül váltakozó jel esetén az elemen áthaladó áram periodikusan változik a pozitív irányból a negatív irányba és fordítva. Ha az elemen áthaladó átlagos áramot egyetlen periódusban vesszük, akkor 0-t kapunk, vagyis nem haladt át áram az elemen, ami nyilvánvalóan nem igaz. Ezért ebben az esetben is a számtani átlag nem jó mérték.
A számtani átlag jó mutató, ha az adatok egyenletesen oszlanak el. Normál eloszlás esetén az átlag megegyezik a móddal és a mediánnal. A legalacsonyabb maradványokkal rendelkezik, ha figyelembe vesszük a középérték négyzetbeli hibáját; ezért a legjobb leíró mérték, ha az adatkészletet egyetlen számmal kell ábrázolni.
Középső
Az összes adatérték növekvő sorrendbe rendezése után a középső adatpont értéke az adatkészlet mediánja. A medián a 2. kvartilis, az 5. decilis és az 50. percentilis.
• Ha a megfigyelések (adatpontok) száma páratlan, akkor a medián a megfigyelés pontosan a rendezett lista közepén található.
• Ha a megfigyelések (adatpontok) száma páros, akkor a medián a rendezett lista két középső megfigyelésének átlaga.
Medián két csoportra osztja a megfigyelést; azaz egy csoport (50%) magasabb értékekkel és egy csoport (50%) alacsonyabb értékekkel, mint a medián. A mediánokat kifejezetten ferde eloszlásokban használják, és az adatok a számtani átlagnál jóval jobbak.
Mód
A mód a megfigyelések halmazában a leggyakoribb szám. Az adatkészlet módját úgy számítják ki, hogy a halmazon belül az egyes elemek gyakoriságát megtalálják.
• Ha egyetlen érték sem fordul elő többször, akkor az adatkészletnek nincs módja.
• Ellenkező esetben a legnagyobb gyakorisággal előforduló érték az adatkészlet módja.
Egynél több mód is létezhet egy készletben; ezért a mode nem egyedi statisztika az adatkészletnek. Egységes eloszlás esetén egyetlen mód van. A diszkrét valószínűségi eloszlás módja az a pont, ahol a valószínűségi tömeg függvény eléri a legmagasabb pontot. A fenti értelmezések alapján azt mondhatjuk, hogy a globális maximumok módok.
Fontolja meg mindhárom intézkedés alkalmazását az alábbi adathalmazra.
ADATOK: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 14, 14, 15, 15, 15}
Átlag = (1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 5+ 5+ 5+ 6+ 6+ 8+ 8+ 9+ 9+ 9+ 9+ 10+ 10+ 10+ 14+ 14+ 15+ 15+ 15) / 25 = 8,12
Medián = 9 (13. elem)
Mód = 9 (9 = 5 gyakorisága)
Mi a különbség az átlag, a medián és a mód között?
• A számtani átlag az értékek (megfigyelések) összege elosztva a megfigyelések számával. Ez nem egy megbízható statisztika, és nagymértékben függ a figyelembe vett eloszlás normális eloszlásától. Egyetlen kiugró érték jelentős elmozdulást okozhat az átlagban, ami viszonylag félrevezető értékeket ad. A koncepció kiterjeszthető geometriai átlagra, harmonikus átlagra, súlyozott átlagra és így tovább.
• A medián a megfigyelések középső értéke, és a kiugró értékek viszonylag kevésbé befolyásolják. Jó becslést adhat, mivel az összefoglaló statisztika erősen torzított esetekben.
• A mód a leggyakoribb megfigyelési érték az adatkészletben. Ha az eloszlás pozitív ferde, akkor a mód a mediánra marad, és ha negatívan ferde, akkor a mód a mediánra fekszik.
• Ha pozitívan torzul, az átlag igaz a mediánhoz; ha negatívan ferde átlag van a mediántól balra.
• Normál eloszlásban mindhárom, az átlag, a mód és a medián egyenlő.
