Asszociatív vs kommutatív
A mindennapi életünkben számokat kell használnunk, amikor valamire szükségünk van. Az élelmiszerboltban, a benzinkútnál és még a konyhában is hozzá kell adni, kivonni és meg kell szorozni két vagy több mennyiséget. Gyakorlatunk alapján ezeket a számításokat meglehetősen könnyedén végezzük. Soha nem vesszük észre és nem kérdőjelezzük meg, hogy miért végezzük ezeket a műveleteket ilyen módon. Vagy miért nem lehet ezeket a számításokat másképp elvégezni. A válasz abban rejlik, hogy ezek a műveletek hogyan definiálódnak az algebra matematikai mezőjében.
Az algebrában két mennyiséget (például összeadást) tartalmazó műveletet bináris műveletként definiálunk. Pontosabban ez egy halmaz két eleme közötti művelet, és ezeket az elemeket „operandusnak” nevezzük. Számos matematikai művelet, beleértve a korábban említett aritmetikai műveleteket, valamint a halmazelméletben, a lineáris algebrában és a matematikai logikában tapasztaltak bináris műveletekként definiálhatók.
Egy adott bináris műveletre vonatkozó szabályrendszer létezik. Az asszociatív és a kommutatív tulajdonságok a bináris műveletek két alapvető tulajdonsága.
További információ a kommutatív tulajdonságokról
Tegyük fel, hogy az A és B elemeken valamilyen, ⊗ szimbólummal jelölt bináris műveletet hajtanak végre. Ha az operandusok sorrendje nem befolyásolja a művelet eredményét, akkor a műveletet kommutatívnak mondják. azaz ha A ⊗ B = B ⊗ A, akkor a művelet kommutatív.
Az aritmetikai műveletek összeadása és szorzása kommutatív. Az összesített vagy szorzott számok sorrendje nem befolyásolja a végső választ:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
De osztás esetén a sorrendben bekövetkező változás a másik reciprokát adja, kivonásnál pedig a változás adja a másik negatívját. Ezért, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 és 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 és 5 ÷ 4 = 1,25 [ebben az esetben A, B ≠ 1 és 0]
Valójában a kivonást kommutatívnak mondják; ahol A - B = - (B - A).
Emellett a logikai kapcsolatok, a kötőszó, diszjunkció, implikáció és az ekvivalencia szintén kommutatívak. Az igazság funkciói szintén kommutatívak. A beállított műveleti unió és kereszteződés kommutatív. Az addíció és a vektorok skaláris szorzata szintén kommutatív.
De a vektor kivonás és a vektor szorzat nem kommutatív (két vektor vektor szorzata antikomutatív). A mátrix összeadás kommutatív, de a szorzás és kivonás nem kommutatív. (Két mátrix szorzata speciális esetekben kommutatív lehet, például egy mátrix szorzata inverz vagy azonosító mátrixszal; de határozottan a mátrixok nem kommutatívak, ha a mátrixok nem azonos méretűek)
További információ az egyesületi tulajdonról
A bináris művelet asszociatívnak mondható, ha a végrehajtás sorrendje nem befolyásolja az eredményt, amikor az operátor két vagy több előfordulása van jelen. Tekintsük az A, B és C elemeket és a ⊗ bináris műveletet. A ⊗ műveletet asszociatívnak mondják, ha
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Az alapvető számtani függvények közül csak az összeadás és a szorzás asszociatív.
A + (B + C) = (A + B) + C 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
A kivonás és a felosztás nem asszociatív;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C 4 - (5 - 3) = 2 és (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 és (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
A logikai összekötők diszjunkciója, konjunkciója és ekvivalenciája asszociatív, valamint a beállított műveletek uniója és metszéspontja. A mátrix és a vektor addíció asszociatív. A vektorok skaláris szorzata asszociatív, de a vektor szorzata nem. A mátrixszorzás csak speciális körülmények között asszociatív.
Mi a különbség a kommutatív és az asszociatív tulajdonság között?
• Mind az asszociatív tulajdonság, mind a kommutatív tulajdonság a bináris műveletek speciális tulajdonságai, és egyesek kielégítik őket, mások nem.
• Ezek a tulajdonságok az algebrai műveletek és a matematika egyéb bináris műveleteinek számos formájában láthatók, például a halmazelmélet metszéspontja és egyesítése vagy a logikai kapcsolatok.
• A kommutatív és az asszociatív különbség abban áll, hogy a kommutatív tulajdonság azt állítja, hogy az elemek sorrendje nem változtatja meg a végeredményt, míg az asszociatív tulajdonság azt állítja, hogy a művelet végrehajtásának sorrendje nem befolyásolja a végső választ.
