Integráció vs összegzés
A felső középiskolai matematikában az integráció és az összegzés gyakran megtalálható a matematikai műveletekben. Látszólag különböző eszközökként és különböző helyzetekben használják őket, de nagyon szoros kapcsolatban vannak.
További információ az Összegzésről
Az összegzés a számsorozat összeadásának művelete, és a műveletet gyakran görög szigma Σ betűvel jelöljük. Az összegzés rövidítésére szolgál, és megegyezik a szekvencia összegével / összegével. Gyakran használják a sorok ábrázolására, amelyek lényegében végtelen szekvenciák összegezve. Használhatók vektorok, mátrixok vagy polinomok összegének megjelölésére is.
Az összegzést általában egy olyan értéktartományra végzik, amelyet általános kifejezéssel reprezentálhatunk, például egy sorozatra, amelynek közös kifejezés van. Az összegzés kezdő és végpontja az összegzés alsó és felső határa.
Például, az összeget a szekvencia egy 1, a 2, a 3, a 4, …, a n egy 1 + a 2 + egy 3 + … + a n, amely könnyen ábrázolható a összegzési jelölésekkel, mint Σ n i = 1 a i; i az összegzés indexének nevezzük.
Az alkalmazáson alapuló összegzéshez számos variációt használnak. Bizonyos esetekben a felső és az alsó határ megadható intervallumként vagy tartományként, például ∑ 1≤i≤100 a i és ∑ i∈ [1100] a i. Vagy megadható számhalmazként, például like i∈P a i, ahol P egy meghatározott halmaz.
Bizonyos esetekben két vagy több szigma jel használható, de általánosíthatók az alábbiak szerint; ∑ j ∑ k a jk = ∑ j, k a jk.
Az összegzés sok algebrai szabályt követ. Mivel a beágyazott művelet az összeadás, az algebra általános szabályai közül sok alkalmazható magára az összegekre és az összegzés által ábrázolt egyes kifejezésekre is.
További információ az integrációról
Az integrációt a differenciálás fordított folyamataként definiálják. De geometriai nézetében a függvény és a tengely görbéje által bezárt területnek is tekinthető. Ezért a terület kiszámítása megadja a határozott integrál értékét, amint azt az ábra mutatja.
Kép forrása:
A határozott integrál értéke valójában a görbe belsejében lévő kis csíkok és a tengely összege. Az egyes csíkok területe a magasság × szélesség a figyelembe vett tengely pontján. A szélesség egy olyan érték, amelyet választhatunk, mondjuk ∆x. A magasság pedig megközelítőleg a függvény értéke az adott pontban, mondjuk f (x i). A diagram alapján nyilvánvaló, hogy minél kisebbek a csíkok, annál jobbak a csíkok a behatárolt területen belül, ennélfogva jobban közelíti az értéket.
Tehát általában a határozott I integrál az a és b pontok között (azaz az [a, b] intervallumban, ahol a
A fenti fogalom általánosításaként az i-vel indexelt figyelembe vett intervallum alapján választhatjuk ki a ∆x értéket (a terület szélességét a helyzet alapján választva). Aztán megkapjuk
I = lim ∆x → 0 ∑ n i = 1 f (x i) ∆x i = a ∫ b f (x) dx
Ezt az f (x) függvény Reimann Integraljának nevezzük az [a, b] intervallumban. Ebben az esetben a és b az integrál felső és alsó határa. A Reimann-integrál az összes integrációs módszer alapvető formája.
Lényegében az integráció a terület összegzése, amikor a téglalap szélessége végtelenül kicsi.
Mi a különbség az integráció és az összegzés között?
• Az összegzés egy számsor összeadása. Általában az összegzést ebben a formában adjuk meg ∑ n i = 1 a i, ha a szekvencia tagjai mintázattal rendelkeznek, és általános kifejezéssel kifejezhetők.
• Az integráció alapvetően az a terület, amelyet a függvény görbéje, a tengely, valamint a felső és az alsó határ határol. Ez a terület sokkal korlátozottabb területek összegeként adható meg a korlátozott területen.
• Az összegzés a diszkrét értékeket tartalmazza a felső és az alsó határokkal, míg az integráció folyamatos értékeket tartalmaz.
• Az integráció az összegzés speciális formájaként értelmezhető.
• A numerikus számítási módszerekben az integrációt mindig összegzésként hajtják végre.
