Átültetés vs inverz mátrix
Az átültetés és az inverz két olyan speciális tulajdonságú mátrix, amellyel a mátrix algebrában találkozunk. Különböznek egymástól, és nincsenek szoros kapcsolataik, mivel a megszerzésük érdekében végzett műveletek különböznek egymástól.
Széles körben alkalmazhatók a lineáris algebra és az azokból származtatott megvalósítások, például a számítástechnika területén.
További információ a Transpose Matrixról
Az A mátrix átültetése azonosítható az oszlopok sorokba rendezésével vagy a sorok oszlopként történő átrendezésével kapott mátrixként. Ennek eredményeként az egyes elemek indexei felcserélődnek. Formálisabban az A mátrix átültetését úgy definiáljuk
ahol
A transzponált mátrixban az átló változatlan marad, de az összes többi elem az átló körül kerül elforgatásra. Emellett a mátrixok mérete is változik m × n-ről n × m-re.
Az átültetés néhány fontos tulajdonsággal rendelkezik, és lehetővé teszik a mátrixok könnyebb manipulálását. Néhány fontos átültetési mátrixot jellemzőik alapján definiálunk. Ha a mátrix egyenlő az átültetésével, akkor a mátrix szimmetrikus. Ha a mátrix megegyezik a transzpozíció negatívjával, akkor a mátrix ferde szimmetrikus. A mátrix konjugált transzpozíciója a mátrix transzpozíciója az összetett konjugátumával helyettesített elemekkel.
További információ az inverz mátrixról
A mátrix inverzét olyan mátrixként definiáljuk, amely az azonosító mátrixot összeszorozva adja meg. Ezért definíció szerint, ha AB = BA = I, akkor B az A fordított mátrixa és A a B fordított mátrixa. Tehát, ha B = A -1-et vesszük, akkor AA -1 = A -1 A = I
Ahhoz, hogy egy mátrix megfordítható legyen, a szükséges és elégséges feltétel az, hogy az A determinánsa ne legyen nulla; azaz | A | = det (A) ≠ 0. Egy mátrixról azt mondják, hogy invertálható, nem egyes vagy nem degeneratív, ha kielégíti ezt a feltételt. Ebből következik, hogy A négyzetmátrix, és A -1 és A egyaránt azonos méretű.
Az A mátrix inverzét számos módszerrel lehet kiszámítani a lineáris algebrában, mint például Gauss-elimináció, Eigendecomposition, Cholesky-bontás és Carmer-szabály. A mátrix blokk inverziós módszerrel és Neuman-sorozattal is megfordítható.
Mi a különbség a transzponálás és az inverz mátrix között?
• Az átültetést az oszlopok és sorok átrendezésével kapjuk meg a mátrixban, míg az inverzeket viszonylag nehéz numerikus számítással. (De a valóságban mindkettő lineáris transzformáció)
• Ennek eredményeként az átültetett elemek csak megváltoztatják helyzetüket, de az értékek megegyeznek. De fordított esetben a számok teljesen eltérhetnek az eredeti mátrixtól.
• Minden mátrixnak lehet transzpozíciója, de az inverz csak négyzetmátrixokra van meghatározva, és a determinánsnak nem nulla determinánsnak kell lennie.
