Power sorozat vs Taylor sorozat
A matematikában a valós szekvencia a valós számok rendezett listája. Formálisan ez egy függvény a természetes számok halmazától a valós számok halmazáig. Ha a n egy szekvencia n- edik tagja, akkor a szekvenciát 1-gyel, 2-vel,…, a n-vel vagy azzal jelöljük. Például vegyük figyelembe az 1, ½, ⅓,…, 1 / n szekvenciát, …. Jelölhető: {1 / n}.
Sorozatok meghatározása szekvenciák segítségével lehetséges. A sorozat a szekvencia feltételeinek összege. Ezért minden szekvenciához van egy társított szekvencia és fordítva. Ha {a n} a vizsgált szekvencia, akkor az a szekvencia által alkotott sorozat a következőképpen ábrázolható:
Így a fenti példában, a kapcsolódó sorozat 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Ahogy a nevek is sugallják, a hatványsor egy speciális típusú sorozat, és széles körben használják a numerikus elemzésben és a kapcsolódó matematikai modellezésben. A Taylor sorozat egy speciális teljesítménysorozat, amely alternatív és könnyen kezelhető módot kínál a jól ismert funkciók képviseletére.
Mi az a Power sorozat?
A hatványsor a forma sorozata
amely konvergens (esetleg) egy bizonyos intervallumra, amelynek középpontja c. Az a n együtthatók lehetnek valós vagy komplex számok, és függetlenek x-től; azaz a dummy változó.
Például ha n = 1- et állítunk minden n-re, és c = 0, akkor az 1 + x + x 2 +….. + x n +… hatványsorokat kapjuk. Könnyű megfigyelni, hogy amikor x ε (-1,1), akkor ez a hatványsor 1 / (1-x) -re konvergál.
Egy hatványsor konvergál, ha x = c. Az x többi értéke, amelyhez a hatványsor konvergál, mindig egy nyitott intervallum formájában jelenik meg, amelynek középpontja c. Vagyis lesz olyan értéke 0≤ R ≤ ∞, hogy minden | xc | ≤ R-t kielégítő x esetében a hatványsor konvergens, és minden x | xc |> R-t kielégítő x esetén a hatványsor eltér. Ezt az R értéket a hatványsor konvergencia sugárának nevezzük (R bármilyen valós értéket vagy pozitív végtelen értéket vehet fel).
A hatványsorok összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és eloszthatók a következő szabályok használatával. Tekintsük a két teljesítménysorozatot:
Azután,
azaz a hasonló kifejezéseket összeadjuk vagy kivonjuk. Emellett lehetőség van a két hatványsor szorzására és felosztására az identitás,
Mi az a Taylor sorozat?
A Taylor-sorozatot egy f (x) függvényre definiáljuk, amely egy intervallumon belül végtelenül megkülönböztethető. Tegyük fel, hogy f (x) differenciálható a c középpontú intervallumon. Ezután a hatványsor, amelyet az ad
az f (x) függvény Tay körüli bővítésének nevezzük c körül. (Itt f (n) (c) jelöli a N edik származékot az x = c). A numerikus elemzés során ebben a végtelen bővítésben véges számú kifejezést használnak az értékek kiszámításához olyan pontokon, ahol a sorozat konvergens az eredeti függvényhez.
Az f (x) függvényről azt mondjuk, hogy analitikus az (a, b) intervallumban, ha minden x ε (a, b) esetében az f (x) Taylor-sorozat konvergál az f (x) függvénnyel. Például az 1 / (1-x) analitikus a (-1,1) értéken, mivel Taylor-tágulása 1 + x + x 2 +….. + x n +… konvergál a függvényhez ezen az intervallumon, és e x analitikus mindenütt, mivel az Tay x sorozat x x konvergál e x- hez minden egyes valós szám esetében.
Mi a különbség a Power sorozat és a Taylor sorozat között?
1. A Taylor-sorozat a hatványsorok speciális osztálya, amelyek csak olyan funkciókra vannak meghatározva, amelyek végtelenül megkülönböztethetők bizonyos nyitott intervallumokban.
2. A Taylor-sorozatok különleges formát öltenek
míg a hatványsor a forma bármelyik sorozata lehet
