Parallelogram vs téglalap
A paralelogramma és a téglalap négyszögek. Ezeknek az alakoknak a geometriáját évezredek óta ismerte az ember. A témát kifejezetten kezeli az Euclid görög matematikus által írt „Elements” című könyv.
Paralelogramma
A paralelogramma úgy határozható meg, mint a négy oldalú geometriai ábra, amelynek ellentétes oldalai párhuzamosak egymással. Pontosabban négyszög két párhuzamos oldalpárral. Ez a párhuzamos természet sok geometriai jellemzőt ad a paralelogrammáknak.
A négyszög paralelogramma, ha a következő geometriai jellemzők találhatók.
• Két ellentétes oldal párja azonos hosszúságú. (AB = DC, AD = BC)
• Két ellentétes szög pár egyenlő méretű. (
)
• Ha a szomszédos szögek kiegészítik egymást
• Az egymással szemben álló oldalak párhuzamosak és egyenlőek. (AB = DC és AB∥DC)
• Az átlóak kettévágják egymást (AO = OC, BO = OD)
• Minden átló átosztja a négyszöget két egybevágó háromszögre. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Továbbá az oldalak négyzetének összege megegyezik az átló négyzetének összegével. Ezt néha paralelogramma törvénynek nevezik, és széles körben alkalmazzák a fizikában és a mérnöki tevékenységben. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
A fenti jellemzők mindegyike felhasználható tulajdonságként, miután bebizonyosodott, hogy a négyszög paralelogramma.
A paralelogramma területe kiszámítható az egyik oldal hosszának és a szemközti oldal magasságának szorzatával. Ezért a paralelogramma területe kijelölhető
A paralelogramma területe = alap × magasság = AB × h
A paralelogramma területe független az egyes paralelogramma alakjától. Csak az alap hosszától és a merőleges magasságtól függ.
Ha a paralelogramma oldalait két vektor reprezentálhatja, akkor a terület a két szomszédos vektor vektortermékének (kereszttermékének) nagyságával kapható meg.
Ha oldalai AB és AD által képviselt vektorok (
) és (
) rendre, a terület a paralelogramma adják
ahol α az a szög között
és
Az alábbiakban bemutatjuk a paralelogramma néhány fejlett tulajdonságát;
• A paralelogramma területe kétszerese annak a háromszögnek a területe, amelyet bármelyik átlója létrehoz.
• A paralelogramma területét felére osztjuk a középponton áthaladó bármely vonallal.
• Bármely nem degenerált affin transzformáció egy paralelogrammát visz egy másik paralelogrammára
• A paralelogramma forgásszimmetriája 2-es
• A paralelogramma bármely belső pontjától az oldalakig terjedő távolságok összege független a pont helyétől
Téglalap
A négy derékszögű négyszöget négyszögnek nevezzük. A paralelogramma egy speciális esete, amikor a két szomszédos oldal közötti szög derékszög.
A paralelogramma összes tulajdonságán kívül további jellemzők is felismerhetők, ha figyelembe vesszük a téglalap geometriáját.
• A csúcsok minden szöge derékszög.
• Az átló hosszúsága egyenlő, és kettévágják egymást. Ezért a kettévágott szakaszok is azonos hosszúságúak.
• Az átló hosszúsága kiszámítható Pythagoras tételével:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• A terület képlete a hosszúság és a szélesség szorzatára redukálódik.
A téglalap területe = hosszúság × szélesség
• Számos szimmetrikus tulajdonság található egy téglalapon, például;
- A téglalap ciklikus, ahol az összes csúcs elhelyezhető a kör kerületén.
- Négyszögletű, ahol az összes szög egyenlő.
- Izogonális, ahol minden sarok ugyanazon a szimmetria pályán fekszik.
- Reflexiós szimmetriája és forgásszimmetriája egyaránt van.
Mi a különbség a paralelogramma és a téglalap között?
• A paralelogramma és a téglalap négyszögek. A téglalap a paralelogrammák speciális esete.
• Bármelyik területe kiszámítható az alap × magasság képlettel.
• Az átló figyelembevétele;
- A paralelogramma átlói kettévágják egymást, a paralelogramma pedig kettévágja két egybevágó háromszöget.
- A téglalap átlói egyenlő hosszúságúak és kettévágják egymást; a kettévágott szakaszok hossza egyenlő. Az átlóak a téglalapot két egybevágó derékszögű háromszögre osztják.
• A belső szögek figyelembevétele;
- A paralelogramma ellentétes belső szögei egyenlőek. Két szomszédos belső szög kiegészítő
- A téglalap mind a négy belső szöge derékszög.
• Az oldalakat figyelembe véve;
- A paralelogrammában az oldalak négyzetének összege megegyezik az átló négyzetének összegével (paralelogramma törvény)
- Téglalapokban a két szomszédos oldal négyzetének összege megegyezik a végek átlójának négyzetével. (Pitagorasz-szabály)
