Bíboros vs rendes
A mindennapi életünkben a számok használata különböző formákat ölthet különböző helyzetekben. Például, amikor számba vesszük, hogy kitaláljuk az objektumok gyűjteményének méretét, egynek, kettõnek, háromnak stb. Amikor valamit meg akarunk számolni, hogy megértsük a tárgyak helyzetét, akkor őket elsőnek, másodiknak, harmadiknak stb. A számlálás első formájában a számokat kardinális számoknak mondják. A számlálás második formájában a számokat sorszámnak tekintjük. Ebben az összefüggésben a bíboros és a soros fogalmak teljesen nyelvészeti kérdések; a bíboros és a sorszám melléknév.
A fogalom kiterjesztése a matematika halmazaira azonban sokkal mélyebb és tágabb perspektívát tár fel, és nem kezelhető egyszerûen. Ebben a cikkben megpróbáljuk megérteni a matematika kardinális és sorszámának alapvető fogalmait.
A szám- és sorszámok formális meghatározásait a halmazelmélet tartalmazza. A definíciók bonyolultak, és tökéletes értelemben való megértésükhöz háttérkészletre van szükség a halmazelméletben. Ezért néhány példa felé fordulunk, hogy heurisztikusan megértsük a fogalmakat.
Tekintsük a két {1,3,6,4,5,2} és {busz, autó, komp, vonat, repülőgép, helikopter} készletet. Minden halmaz felsorol egy elemkészletet, és ha megszámoljuk az elemek számát, akkor nyilvánvaló, hogy mindegyiknek ugyanannyi eleme van, ami 6. Ebbe a következtetésbe jutva egy halmaz méretét vettük és összehasonlítottuk egy másikkal egy szám. Az ilyen számot kardinális számnak nevezzük. Ezért azt mondhatjuk, hogy a kardinális szám olyan szám, amellyel összehasonlíthatjuk a véges halmazok méretét.
Ismét az első számkészlet növekvő sorrendbe rendezhető, figyelembe véve az egyes elemek méretét és összehasonlítva őket. A rendelés során a számokat bíborosoknak tekintik. Hasonlóképpen, az összes nem negatív egész halmaza elrendezhető egy halmazban; azaz {0,1,2,3,4, …..}. De ebben az esetben a halmaz mérete végtelenné válik, és a rendszámok megadása nem lehetséges. Nem számít, milyen nagy számot választ a halmaz méretének megadásához, a választott halmazból továbbra is maradnak számok, amelyek nem negatív egészek.
Ezért a matematikusok ezt a végtelen bíborost (ami az első) Aleph-0 néven definiálják, א-nek írják (a héber ábécé első betűje). Formálisan a sorszám a jól rendezett halmaz sorrendje. Ezért a véges halmazok sorszámát megadhatjuk kardinális számokkal, de a végtelen halmazok esetében a sorszámot olyan transzfinit számokkal adjuk meg, mint az Aleph-0.
Mi a különbség a bíboros és a sorszám között?
• A bíboros szám olyan szám, amely felhasználható számlálásra, vagy a véges rendezett halmaz méretének megadására. Minden sarkalatos szám rendes.
• A sorszámok a véges és a végtelen rendezett halmazok méretének megadására használt számok. A véges sorrendű halmazok méretét a szokásos hindu-arab algebrai számok, a végtelen halmaz méretét pedig a transzfinit számok adják meg.
