Diszkrét függvény vs folyamatos funkció
A függvények a matematikai objektumok egyik legfontosabb osztálya, amelyet széles körben alkalmaznak a matematika szinte minden részterületén. Mivel nevük mind a diszkrét függvényeket sugallja, mind a folyamatos függvények a funkciók két speciális típusa.
A függvény két halmaz közötti kapcsolat, amelyet úgy definiálnak, hogy az első halmaz minden egyes elemének egyedi értéke a második halmazban annak megfelelő érték. Legyen f az A halmazból a B halmazba definiált függvény. Ekkor minden x ϵ A esetében az f (x) szimbólum a B halmazban az x-nek megfelelő egyedi értéket jelöli. Az f kép alatt x-nek nevezzük. Ezért egy f reláció A-ból B-be függvény, akkor és csak akkor, ha x and A és y ϵ A; ha x = y, akkor f (x) = f (y). Az A halmazt nevezzük az f függvény tartományának, és ez az a halmaz, amelyben a függvény meghatározva van.
Például vegyük figyelembe az R-től az R-ig terjedő relációt, amelyet f (x) = x + 2 határoz meg minden egyes x A esetén. Ez egy olyan függvény, amelynek tartománya R, mivel minden egyes valós és x számra x = y azt jelenti, hogy f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). De a g összefüggés N-ből N-be, amelyet g (x) = a határoz meg, ahol 'a' x elsődleges tényezője, nem függvény, mivel g (6) = 3, valamint g (6) = 2.
Mi a diszkrét függvény?
A diszkrét függvény olyan függvény, amelynek tartománya legfeljebb megszámlálható. Ez egyszerűen azt jelenti, hogy lehetséges egy olyan lista készítése, amely tartalmazza a tartomány összes elemét.
Bármely véges halmaz legfeljebb megszámlálható. A természetes számok halmaza és a racionális számok halmaza példa legfeljebb megszámlálhatatlan végtelen halmazra. A valós számok halmaza és az irracionális számok halmaza legfeljebb megszámolható. Mindkét készlet megszámlálhatatlan. Ez azt jelenti, hogy lehetetlen olyan listát készíteni, amely tartalmazza a halmazok összes elemét.
Az egyik leggyakoribb diszkrét függvény a faktoriális függvény. f: NU {0} → N rekurzívan, amelyet f (n) = nf (n-1) határoz meg minden n ≥ 1 esetén, és f (0) = 1 faktoriális függvénynek nevezzük. Ne feledje, hogy a NU {0} tartománya legfeljebb megszámlálható.
Mi a folyamatos függvény?
Legyen f olyan függvény, hogy az f tartományban lévő k mindegyikére f (x) → f (k) x → k. Ekkor f folyamatos függvény. Ez azt jelenti, hogy az f (x) -t tetszőlegesen közel lehet tenni az f (k) -hez úgy, hogy x-et kellően közel állítjuk k-hoz az f tartományában lévő k-khoz.
Tekintsük az f (x) = x + 2 függvényt R-n. Látható, hogy x → k, x + 2 → k + 2 alakban f (x) → f (k). Ezért f folytonos függvény. Most vegyük figyelembe g-t pozitív valós számokon g (x) = 1, ha x> 0, és g (x) = 0, ha x = 0. Ez a függvény tehát nem folyamatos függvény, mivel a g (x) határértéke nem létezik (és ezért nem egyenlő g (0) -val, mint x → 0.
Mi a különbség a diszkrét és a folyamatos funkció között?
• A diszkrét függvény olyan függvény, amelynek tartománya legfeljebb megszámlálható, de a folyamatos függvényekben nem feltétlenül szükséges.
• Minden folytonos ƒ funkcióval megvan az a tulajdonság, hogy ƒ (x) → ƒ (k) x → k-ként minden x-re és minden k-ra a ƒ tartományban, de egyes diszkrét függvényeknél ez nem így van.
