Kölcsönösen kizáró és független események
Az emberek gyakran összekeverik az egymást kizáró események fogalmát a független eseményekkel. Valójában ez két különböző dolog.
Legyen A és B bármely két véletlenszerű kísérlethez kapcsolódó esemény. Az E. P (A) -t „A valószínűségének” nevezzük. Hasonlóképpen definiálhatjuk B valószínűségét P (B), A vagy B valószínűségét P (A∪B), valamint A és B valószínűségét P (A∩B). Ezután P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Két esemény azonban kizárja egymást, ha az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másikat. Más szóval, nem fordulhatnak elő egyszerre. Ezért, ha két A és B esemény kizárja egymást, akkor A∩B = ∅, tehát P (A∪B) = P (A) + P (B).
Legyen A és B két esemény az S mintaterületben. Az S feltételes valószínűségét, mivel B bekövetkezett, P (A | B) jelöli, és a következőképpen határozható meg: P (A | B) = P (A∩B) / P (B), feltéve, hogy P (B)> 0. (különben nincs meghatározva.)
Az A eseményről azt mondják, hogy független a B eseménytől, ha az A bekövetkezésének valószínűségét nem befolyásolja az, hogy B bekövetkezett-e vagy sem. Más szavakkal, a B esemény kimenetele nincs hatással az A esemény kimenetelére. Ezért P (A | B) = P (A). Hasonlóképpen, B független A-tól, ha P (B) = P (B | A). Ezért arra a következtetésre juthatunk, hogy ha A és B független események, akkor P (A∩B) = P (A). P (B)
Tegyük fel, hogy egy számozott kocka van felgördülve és egy tisztességes érme megfordul. Legyen A a fej megszerzésének eseménye, B pedig a páros szám gurítása. Ezután arra a következtetésre juthatunk, hogy az A és B esemény független, mert az egyik kimenetele nem befolyásolja a másik kimenetelét. Ezért P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Mivel P (A∩B) ≠ 0, A és B nem zárhatják ki egymást.
Tegyük fel, hogy egy urnában 7 fehér és 8 fekete márvány található. Határozza meg az A eseményt fehér márványként, a B eseményt fekete márványként. Feltételezve, hogy mindegyik márványt kicserélik, miután megjegyezte a színét, akkor P (A) és P (B) mindig ugyanaz lesz, függetlenül attól, hogy hányszor merítünk az urnából. A golyók cseréje azt jelenti, hogy a valószínűség nem változik rajzonként, függetlenül attól, hogy milyen színt választottunk az utolsó rajzon. Ezért az A és B esemény független.
Ha azonban márványokat cseréltek ki, akkor minden megváltozik. E feltételezés szerint az A és B események nem függetlenek. Az első alkalommal fehér márvány megrajzolása megváltoztatja annak valószínűségét, hogy a második márványra fekete márvány kerüljön rajzolásra stb. Más szavakkal, minden sorsolás hatással van a következő sorsolásra, így az egyes sorsolások nem függetlenek.
Különbség a kölcsönösen kizáró és független események között
- Az események kölcsönös kizárólagossága azt jelenti, hogy nincs átfedés az A és B halmazok között. Az események függetlensége azt jelenti, hogy az A bekövetkezése nem befolyásolja a B eseményét.
- Ha két A és B esemény kizárja egymást, akkor P (A∩B) = 0.
- Ha két A és B esemény független, akkor P (A∩B) = P (A). P (B)
