Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Az integráció a számítás fő témája. Broder értelemben az integráció a differenciálás fordított folyamatának tekinthető. A valós problémák modellezésénél könnyen lehet derivatívákat tartalmazó kifejezéseket írni. Ilyen helyzetben az integrációs műveletre van szükség a függvény megtalálásához, amely megadta az adott származékot.
Más szempontból az integráció olyan folyamat, amely összegzi a ƒ (x) és a δx függvény szorzatát, ahol a δx általában egy bizonyos határ. Ezért használjuk az integrációs szimbólumot ∫-ként. A ∫ szimbólum valójában az, amit az s betű összegével való megnyújtásával kapunk.
Riemann Integral
Tekintsünk egy y = ƒ (x) függvényt. Y integrálját a és b között, ahol a és b x halmazhoz tartoznak, b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Ezt nevezzük az a és b közötti y = ƒ (x) egyetlen értékű és folytonos függvény határozott integráljának. Ez megadja az a és b közötti görbe alatti területet. Ezt Riemann-integrálnak is nevezik. A Riemann-integrált Bernhard Riemann hozta létre. A folytonos függvény Riemann-integrálja a Jordan-mérésen alapul, ezért a függvény Riemann-összegének határaként is meghatározza. Zárt intervallumban definiált valós értékű függvény esetén a függvény Riemann-integrálja az x 1, x 2,…, x n partícióhoz képestaz [a, b] és t 1, t 2,…, t n intervallumon definiálva, ahol x i ≤ t i ≤ x i + 1 minden i ε {1, 2,…, n} esetén, Riemann összeg van mint Σ i = o – n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
A Lebesgue egy másik típusú integrál, amely a Riemann-integrál esetében sokféle esetre kiterjed. A lebesgue-integrált Henri Lebesgue vezette be 1902-ben. A Legesgue-integráció a Riemann-integráció általánosításának tekinthető.
Miért kell tanulmányoznunk egy másik integrált?
Tekintsük az the A (x) = { 0 karakterisztikus függvényt, ha x nem ε A 1 if, x ε A egy A halmazon. Ezután a karakterisztikus függvények véges lineáris kombinációja, amelyet F (x) = Σ i ƒ E i (x) -et egyszerű függvénynek nevezzük, ha E i mindegyik i-re mérhető. Az F (x) E fölötti Lebesgue-integrálját E ∫ ƒ (x) dx jelöli. Az F (x) függvény nem integrálható Riemann-ban. Ezért a Lebesgue-integrál átfogalmazza a Riemann-integrált, amely bizonyos korlátozásokat tartalmaz az integrálandó funkciókra vonatkozóan.
Mi a különbség a Riemann Integral és a Lebesgue Integral között?
· A Lebesgue-integrál a Riemann-integrál általánosító formája.
· A Lebesgue-integrál a megszakadások megszámlálhatatlan végtelenségét teszi lehetővé, míg a Riemann-integrál a végtelen számú folytonosságot teszi lehetővé.
